Identificación

Identificaciones

Sean $(X, T), (Y, T^{'})$ espacios topológicos, y $p : X \to Y$ una aplicación. Decimos que $p$ es una identificación si $p$ es sobreyectiva y $T^{'} = T (p)$ . ^[1]

Propiedades

$Id : (X, T) \to (X, T^{'})$ es una identificación si y solo si $T = T^{'}$ .^[2]
Si $p : (X, T) \to (Y, T^{'})$ es una identificación y $f : (Y, T^{'}) \to (Z, T^{″})$ es una aplicación, entonces $f$ es continua si y solo si $f \circ p$ es continua.
Si $f : (X, T) \to (Y, T^{'})$ es continua, abierta (o cerrada) y sobreyectiva, entonces $f$ es una identificación.

Intuición

Una aplicación $p : X \to Y$ sobreyectiva será una identificación si la topología en $Y$ coincide con la topología final. Esto es, un $U \subset Y$ es abierto en $Y$ si, y solo si, $p^{- 1} (U)$ es abierto en $X$ .

Observación

Es una condición más fuerte que la de continuidad, pues una función $f$ es continua si dado un $U \subset Y$ abierto en $Y$ , entonces $f^{- 1} (U)$ es abierto en $X$ ; no obstante, que una función sea una identificación exige al mismo tiempo el recíproco: si dado un $f^{- 1} (U)$ abierto en $X$ , entonces $U$ es abierto en $Y$ .

Casi un homeomorfismo. Faltaría que la función $p$ también fuera inyectiva. ↩︎
Para que sea continua basta que $T^{'} \subset T$ . ↩︎